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ポアンカレ予想
ポアンカレの贈り物―数学最後の難問は解けるのか
ポアンカレの贈り物―数学最後の難問は解けるのか

「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S3 に同相である」

なんのこっちゃか1ミクロンもわかりませんが、ニュースでやってたのが面白かったのメモ。

ポアンカレ予想とは数学者のポアンカレが1904年に提出した超難問。
これまで100年間、幾多の天才数学者達が挑んできたが誰も証明できず、アメリカのクレイ数学研究所が100万ドルの懸賞金をかけた。

しかし02~03年にロシアの天才数学者ペレルマンが、ポアンカレ予想を証明する論文をインターネットに発表。
この論文が正しいかどうかの検証が数学者達によって行われ、ほぼ正しいことが証明されたらしい。
 しかし賞金の100万ドルは学術誌に投稿することが条件だったのでインターネットに発表されたこの論文は条件にそぐわず、宙に浮いた状態になってるらしい。

ペレルマンはかなりの変わり者らしく、数学界のノーベル賞、フィールズ賞の授与されることが決まったが、興味がないと辞退。
しかも05年末には突然、研究所を辞職し雲隠れしたらしい。
今では母親と故郷で、貯金や母親の年金をもとにきのこを採ったりしてほそぼそと暮らしてるらしい。(100万ドルを彼にあげてください。)

数学21世紀の7大難問
数学21世紀の7大難問

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【2006/08/26 01:36】 今日初めて知ったこと | トラックバック(0) | コメント(2) | edit
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コメント
ポアンカレ予想は、『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙のあらゆる所を旅行します。そして、地球に着いた時、手元にはロープの両端があります。そのロープの両端を離さないで、ロープ全体を引き寄せることが出来た時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題でした。宇宙が仮にドーナツ形であれば、ロープは穴に引っかかって引き寄せられません。
トポロジーでは、形は伸縮自由です。そうして同じ形になれば、同じ形です。伸縮して球体になる形を『おおむね丸い形』と問題では言っています。例えばドーナツ形をいくら伸ばしたり縮めたりしても、穴があるので球体にはなりません。両者は異なる形です。物には色々な形が有ります。ドーナツ形も在れば、穴が2つ3つ空いたドーナツ形や、ドーナツの途中に1つの結び目のある形と、無限の種類の形があります。『無限にある形の中に、球体以外でロープを回収できる形が1つでもあるか』とポアンカレは問い掛けています。
そこで、ロケットに付けたロープを長い円柱形であると考えてみましょう。ドーナツ形は、ロープの両端をくっ付けた形です。ドーナッツの途中に1つの結び目のある形は、ロープで1つの結び目を作り、両端をくっ付けた形です。穴が2つあるドーナツ形は、ドーナツ形を2つくっ付けた形です。この様にロープをいろんな風にぐるぐると絡ませた上で、その両端をくっ付けることで、無限に異なる形を作ることが出来ます。そして、それらを組み合わせることで、ありとあらゆる形を作り出せるのです。しかし、ロープの両端をくっ付けない限り、そのロープは複雑に曲がりくねった円柱形であり、伸縮すれば、結局球体になります。ロープの両端をくっ付けて初めて、球体とは別の形になるのです。
今度はそのロープ自体を、問題の宇宙の形に見立てて見ましょう。円柱のロープの中心に、一本の赤い紐があるとします。ロープの両端をくっ付けてしまうと、ロープを途中でどの様にぐるぐると絡めても、赤い紐の両端を離さずには、全てを引き寄せることは出来ません。ロープの両端をくっ付けない時は、どんなに複雑に絡んでいても、ロープを解き縮めると、球体の中に一本の赤い紐がある状態になり、全てを手元に引き寄せられます。くっ付け方は2つあります。外面同士、内面同士をくっ付ける方法と、外面と内面、内面と外面をくっ付ける方法です。後者はホースの切り口の片方を裏返しにして後方に剥き、内面が外側に向いた状態の切り口に、もう片方のホースの切り口をつなげる方法です。ホースの側面が交差します。数学で『クラインの壷』と言われる形の途中を、複雑に絡めた形です。その場合、赤い紐の両端を、ロープの外の空間で持つことになりますが、引き寄せることは出来ません。
宇宙のとり得る形は、一本のロープで作れる無限の形の組合せに限られます。穴の2つあるドーナツ形は、ドーナツ形2つから成ります。組合せの中に1つでも、球体でない形(=両端を繋げた形)が含まれると、ロープは引き寄せられません。
ポアンカレは色々な形(三次元閉多面体=三次元で端の無い面)を頭の中で作ろうとして、丸い形(=球体)の面を色々と伸縮したり、絡ませたり、裏返したりして加工してみました。しかし、最後にその面同士をくっ付けない限り、解き縮めるとは元の丸い形に戻ってしまい、くっ付けて初めて、丸い形でなくなることが分かりました。くっ付け方は、①表面(外面)の一部を引き伸ばし、絡めた後表面にくっ付け、接着面を無くし穴にする方法、②裏面(内面)の一部を引き伸ばし、絡めた後裏面にくっ付ける方法、③表面の一部を引き伸ばし、絡めた後先端部分を球体内部に差込み、裏面にくっ付ける方法の3種類のみです。①と③でロープが回収出来ない事は、ホースの例で説明済みです。②でも、複雑に絡んだ穴が開き、その穴にロープが掛かります。球体の加工の仕方は、伸ばす、縮める、絡める、面をくっ付ける、裏返すしかありません。面をくっ付ける以外の加工では、球体のままです。球体を加工して出来る形の内で、球体以外にはロープを回収できる形は無いと言えます。
ではここで、1つの疑問が湧きます。『伸ばし、縮め、絡め、裏返し、球体を面と面とをくっ付け、接着面を無くし穴にする加工をしても作れない、球体とは異なる端の無い一枚の面が存在するか』と言うことです。それがもし存在すれば、その形でロープが引っ掛からないかどうか、検証しなければなりません。そこで、逆を考えて見ましょう。逆は、『二つの面に分かれない様に自由に切り、絡まった部分を解きそして縮めて、出来た円い穴を小さくして無くする』ことです。この加工をして、球体にならない3次元の端の無い1枚の面は、球体に前者の加工をしても作れません。しかし、一枚の面である限り、後者の加工を行えば、最終的には必ず球体になります。つまり、前者の加工をして作れない3次元閉多面体は存在しません。数学の世界では色々な種類の3次元多様体が考えられていますが、それらの内、球体以外の形は全て球体に前者の加工を行って作ることが出来、それらの形では、ロープは回収できないのです。
結論として、ロープが回収出来た時、宇宙は「おおむね丸い形」以外ではありえないと言えます。
【2007/11/05 00:27】 URL | catbird #U2rSxXYI[ 編集] | page top↑
うぅ・・・
【2007/11/12 22:13】 URL | タンタン #-[ 編集] | page top↑
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